斐波那契数列
在数学中，斐波那契数列是一个序列，其中每个数字都是前两个数字之和。属于斐波那契数列的数字称为斐波那契数，通常用 $F_n$ 表示。该序列通常以 0 和 1 开始，依次为：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
斐波那契数列可以通过以下递推关系定义：
\[F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\]对于 $n > 1$，有
\[F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\]前 20 个斐波那契数 $F_n$ 为：
| $F_0$ | $F_1$ | $F_2$ | $F_3$ | $F_4$ | $F_5$ | $F_6$ | $F_7$ | $F_8$ | $F_9$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 |
| $F_{10}$ | $F_{11}$ | $F_{12}$ | $F_{13}$ | $F_{14}$ | $F_{15}$ | $F_{16}$ | $F_{17}$ | $F_{18}$ | $F_{19}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 |
斐波那契数列的通项公式
我们希望找到一个公式，能够直接计算第 $n$ 项的值，而无需逐项计算之前的项。这需要一些数学技巧。
假设解的形式
由于递推公式是线性齐次的，我们假设解为：
\[F_n = r^n\]代入递推公式
将假设的解代入递推公式，得到：
\[r^n = r^{n-1} + r^{n-2}\]两边同时除以 $ r^{n-2} $，得到：
\[\frac{r^n}{r^{n-2}} = \frac{r^{n-1}}{r^{n-2}} + \frac{r^{n-2}}{r^{n-2}}\]简化指数：
\[r^{n-(n-2)} = r^{(n-1)-(n-2)} + 1\]因此得到特征方程：
\[r^2 = r + 1\]求特征方程的根
这个方程称为特征方程：
\[r^2 - r - 1 = 0\]这是一个关于 $ r $ 的二次方程，可以用求根公式求解：
对于一般的二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其求根公式为：
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $ a = 1 $，$ b = -1 $，$ c = -1 $ 代入，得到：
\[r = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\] \[r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\]因此，得到两个特征根：
- $ \phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $ （黄金分割比）
- $ \psi = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $
写出通解
由于递推关系是线性的，其通解是特征解的线性组合：
\[F_n = A \phi^n + B \psi^n\]其中，$ A $ 和 $ B $ 是待定系数。
确定系数 $ A $ 和 $ B $
利用初始条件 $F_0$ 和 $F_1$ 求解系数 $A$ 和 $B$。
当 $ n = 0 $ 时：
\[F_0 = A \phi^0 + B \psi^0\]由于任何数的 0 次方都是 1，所以：
\[0 = A + B \quad \text{（1）}\]当 $ n = 1 $ 时：
\[F_1 = A \phi^1 + B \psi^1\]即：
\[1 = A \phi + B \psi \quad \text{（2）}\]解方程组（1）和（2）：
从方程（1）得：
\[B = -A\]将 $ B $ 代入方程（2）：
\[1 = A \phi - A \psi = A (\phi - \psi)\]计算 $ \phi - \psi $：
\[\phi - \psi = \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) - \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) = \dfrac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}\]所以：
\[A \cdot \sqrt{5} = 1\]解得：
\[A = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\]因此：
\[B = -A = -\dfrac{1}{\sqrt{5}}\]写出最终的通项公式
因此，斐波那契数列的通项公式为：
\[F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \psi^n \right)\]其中：
- $ \phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $
- $ \psi = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $
验证通项公式
例子：计算第 6 项
用通项公式计算第 6 项，看是否与已知结果一致。
计算 $ \phi^6 $ 和 $ \psi^6 $：
- $ \phi^6 = \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^6 \approx 17.94427191 $
- $ \psi^6 = \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^6 \approx 0.05572809 $
代入通项公式：
\[F_6 \approx \dfrac{1}{\sqrt{5}} (17.94427191 - 0.05572809) \approx \dfrac{17.88854382}{2.236067977} \approx 8.0\]得到的结果为 8，与斐波那契数列的第 6 项一致。
总结
通过分析递推公式并解特征方程，得到了斐波那契数列的通项公式：
\[F_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)\]该公式允许直接计算斐波那契数列的任意一项，无需逐项计算，极为便利。